Mittelwert oder Median? Beschreibung der Einkommensverteilung

200-Euro-Schein

Ein einfaches Beispiel: wir betrachten eine übersichtliche Stichprobe mit drei Personen, die über folgende Monatseinkommen verfügen:

  • Person A: 1.000 €
  • Person B: 1.000 €
  • Person D: 998.000 €

Das Durchschnittseinkommen beträgt:
(1.000 € + 1.000 € + 998.000 €) / 3 = 1 Million € / 3 = 333.333 €

Nehmen wir an, die drei leben „zusammen allein“ auf einer einsamen Insel. Wenn wir von einem durchschnittlichen Monatseinkommen von 333.333 € sprechen, so denken wir an großen Reichtum auf dieser Insel. Jedoch zwei der drei Personen sind relative „Habenichtse“.

Bei so schiefen Verteilungen wie in diesem Beispiel bietet sich ein alternatives Lagemaß an: der Median. Er ist der mittlere Wert der Verteilung. Klingt wie Mittelwert? Nein. Sortieren wir die Werte nach Größe (aufsteigend oder absteigend) und nehmen den „Wert in der Mitte“. Das sind in diesem Fall: genau 1.000 €. Er sagt uns, dass die Hälfte der Stichprobe nicht mehr verdient als 1.000 € (und nicht weniger). Mit diesen 1.000 € ist die Realität der Einkommensverteilung besser beschrieben als mit dem Mittelwert, der mit keinem realen Wert korrespondiert.

Hier als Video, mit etwas anderen Zahlen (9 Personen):

 

Oft ist es hilfreich, beide Kennwerte zu berechnen und zu vergleichen. Bei einer perfekten Normalverteilung sind sie identisch. Deutliche Abweichungen weisen auf schiefe Verteilungen bzw. Ausreißerwerte hin. Wie gesehen, ist der Median im Gegensatz zum Mittelwert „robust“ gegenüber Ausreißern.

Natürlich liefert auch der Median als einzelne Kenngröße keine vollständige Beschreibung der Verteilung. Ich plädiere für den „Mosaik“-Ansatz: aus mehreren Blickwinkeln auf Daten schauen, um Steinchen für Steinchen ein klareres Bild zu erhalten. Statistikprogramme wie SPSS oder Stata bieten eine große Auswahl an Kenngrößen für deskriptive Statistiken.

Hier eine, wenn auch nicht ganz aktuelle Statistik zu Löhnen und Einkommen:

Quelle: Wikimedia Commons / Statistisches Bundesamt

Allerdings ist es nicht so einfach, Einkommen und vor allem Vermögen in Deutschland genau zu beziffern, wie dieser Beitrag aus Die Anstalt zeigt:

Dieser Beitrag ist ein Update zu Verteilungen vergleichen: Mittelwerte und Fallzahlen reichen manchmal nicht. Darin geht es um die Bedeutung der Standardabweichung.